એક ત્રિકોણમાં,બે શિરોબિંદુઓ $(2, 3)$ અને $(4, 0)$ છે,અને તેનું પરિકેન્દ્ર કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $z$ માટે $(2, z)$ છે. પરિત્રિજ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $PQ$ એ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=9$ નો વ્યાસ છે. જો $\alpha$ અને $\beta$ એ અનુક્રમે $P$ અને $Q$ માંથી સીધી રેખા $x+y=2$ પર દોરેલા લંબની લંબાઈ હોય,તો $\alpha \beta$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

$x^{2} + y^{2} + c^{2} = 2ax$ અને $x^{2} + y^{2} + c^{2} = 2by$ સમીકરણો દ્વારા દર્શાવતા વર્તુળો એકબીજાને બહારથી ક્યારે સ્પર્શે?

જો $(m_i, \frac{1}{m_i}), i = 1, 2, 3, 4$ એ એક જ વર્તુળ પરના બિંદુઓ (concyclic) હોય,તો $m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 \cdot m_4$ ની કિંમત શોધો.

$1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ $C$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ $PQR$ માં અંતઃસ્થિત છે. $C$ ના બાજુઓ $PQ, QR, RP$ સાથેના સ્પર્શબિંદુઓ અનુક્રમે $D, E, F$ છે. રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $\sqrt{3}x + y - 6 = 0$ છે અને બિંદુ $D$ એ $\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$ છે. વધુમાં,આપેલ છે કે ઉગમબિંદુ અને $C$ નું કેન્દ્ર રેખા $PQ$ ની એક જ બાજુએ છે.
$1.$ વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ છે
$(A) (x - 2\sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$
$(B) (x - 2\sqrt{3})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = 1$
$(C) (x - \sqrt{3})^2 + (y + 1)^2 = 1$
$(D) (x - \sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$
$2.$ બિંદુઓ $E$ અને $F$ છે
$(A) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), (\sqrt{3}, 0)$
$(B) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right), (\sqrt{3}, 0)$
$(C) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$
$(D) \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$
$3.$ બાજુઓ $QR, RP$ ના સમીકરણો છે
$(A) y = \frac{2}{\sqrt{3}}x + 1, y = -\frac{2}{\sqrt{3}}x - 1$
$(B) y = \frac{1}{\sqrt{3}}x, y = 0$
$(C) y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + 1, y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x - 1$
$(D) y = \sqrt{3}x, y = 0$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

રેખા $4x - 3y + 15 = 0$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$ ને બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે છે. જો $C$ એ વર્તુળના પરિઘ પરનું બિંદુ હોય,તો $\Delta ABC$ નું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ - .............. $sq. \ units$ થશે.