एक $A.P.$ में,$10$ वें पद का $10$ गुना,$15$ वें पद के $15$ गुने के बराबर है। सिद्ध कीजिए कि $A.P.$ का $25$ वां पद $0$ है।

(N/A) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$ वां पद $a_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$10 \times a_{10} = 15 \times a_{15}$.
पदों के लिए सूत्र का उपयोग करने पर: $10(a + 9d) = 15(a + 14d)$.
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर: $2(a + 9d) = 3(a + 14d)$.
कोष्ठक खोलने पर: $2a + 18d = 3a + 42d$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2a - 3a = 42d - 18d$.
$-a = 24d$,जिसका अर्थ है कि $a = -24d$.
अब,हमें $25$ वां पद ज्ञात करना है,$a_{25} = a + (25 - 1)d = a + 24d$.
$a = -24d$ का मान समीकरण में रखने पर: $a_{25} = -24d + 24d = 0$.
अतः,$A.P.$ का $25$ वां पद $0$ है।