एक प्रवेश परीक्षा में $15$ बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न में $4$ विकल्प हैं। प्रत्येक प्रश्न के लिए,एक या एक से अधिक उत्तर सही हो सकते हैं। यदि कोई छात्र सभी $15$ प्रश्नों का प्रयास करता है और यादृच्छिक रूप से उत्तरों को चिह्नित करता है,तो वह छात्र कितने अलग-अलग तरीकों से प्रश्न पत्र का उत्तर दे सकता है?

संख्या $(49^{2}-4)(49^{3}-49)$ किससे विभाज्य है ($!$ में)?

$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ अक्षरों के ऐसे कितने क्रमचय (permutations) हैं जिनमें पहला अक्षर $a_1$ पहले स्थान पर न हो और दूसरा अक्षर $a_2$ दूसरे स्थान पर न हो?

यदि $n$ उन तरीकों की संख्या है जिनसे पाँच अलग-अलग कर्मचारी चार अविभेद्य कार्यालयों में बैठ सकते हैं,जहाँ किसी भी कार्यालय में शून्य सहित व्यक्तियों की कोई भी संख्या हो सकती है,तो $n$ किसके बराबर है?

एक पुरुष $P$ के $7$ मित्र हैं,जिनमें से $4$ महिलाएं हैं और $3$ पुरुष हैं। उसकी पत्नी $Q$ के भी $7$ मित्र हैं,जिनमें से $3$ महिलाएं हैं और $4$ पुरुष हैं। मान लीजिए कि $P$ और $Q$ का कोई भी मित्र समान नहीं है। तो उन तरीकों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए जिनसे $P$ और $Q$ मिलकर $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों को आमंत्रित करके एक पार्टी दे सकते हैं,ताकि $P$ और $Q$ में से प्रत्येक के $3$ मित्र इस पार्टी में हों।

$11$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं में से यदि तीन संख्याएँ यादृच्छिक रूप से (बिना पुनरावृत्ति के) चुनी जाती हैं,तो उनके धनात्मक सार्व अंतर के साथ $A.P.$ में होने की प्रायिकता क्या है?