આકૃતિમાં,$CM$ અને $RN$ એ અનુક્રમે $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ ના મધ્યગાઓ છે. જો $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ હોય,તો સાબિત કરો કે:
$(i)$ $\Delta AMC \sim \Delta PNR$
$(ii)$ $\frac{CM}{RN} = \frac{AB}{PQ}$
$(iii)$ $\Delta CMB \sim \Delta RNQ$

(A) આપેલ છે: $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમપ્રમાણમાં છે અને અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP} \quad ...(1)$
$\angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R \quad ...(2)$
$CM$ અને $RN$ મધ્યગાઓ હોવાથી,$M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $N$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$AB = 2AM$ અને $PQ = 2PN$.
$(i)$ $(1)$ પરથી,$\frac{2AM}{2PN} = \frac{CA}{RP} \implies \frac{AM}{PN} = \frac{CA}{RP}$.
વળી,$\angle MAC = \angle NPR$ ($(2)$ પરથી).
$SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AMC \sim \Delta PNR$.
$(ii)$ $\Delta AMC \sim \Delta PNR$ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમપ્રમાણમાં છે:
$\frac{CM}{RN} = \frac{CA}{RP}$.
$(1)$ પરથી,$\frac{CA}{RP} = \frac{AB}{PQ}$.
તેથી,$\frac{CM}{RN} = \frac{AB}{PQ}$.
$(iii)$ $\Delta CMB$ અને $\Delta RNQ$ માં:
$\frac{CM}{RN} = \frac{BC}{QR}$ ($(ii)$ અને $(1)$ પરથી).
$\frac{BC}{QR} = \frac{BM}{QN}$ (મધ્યગાના ગુણધર્મ મુજબ $BC = 2BM$ અને $QR = 2QN$ હોવાથી).
આમ,$\frac{CM}{RN} = \frac{BC}{QR} = \frac{BM}{QN}$.
$SSS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta CMB \sim \Delta RNQ$.