આકૃતિમાં,$PS$ એ $\Delta PQR$ ના $\angle QPR$ નો દ્વિભાજક છે. સાબિત કરો કે $\frac{QS}{SR} = \frac{PQ}{PR}$.

(N/A) રચના: $PS$ ને સમાંતર એક રેખાખંડ $RT$ દોરો જે લંબાવેલા રેખાખંડ $QP$ ને બિંદુ $T$ માં છેદે છે.
આપેલ છે કે,$PS$ એ $\angle QPR$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક છે.
તેથી,$\angle QPS = \angle SPR \quad \dots(1)$
રચના મુજબ,$PS \parallel TR$ અને $QT$ એ છેદિકા છે.
તેથી,$\angle QPS = \angle QTR$ (અનુકોણ) $\quad \dots(2)$
વળી,$PS \parallel TR$ અને $PR$ એ છેદિકા છે.
તેથી,$\angle SPR = \angle PRT$ (યુગ્મકોણ) $\quad \dots(3)$
સમીકરણ $(1)$,$(2)$,અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle QTR = \angle PRT$
$\Delta PTR$ માં,$\angle QTR = \angle PRT$ હોવાથી,આ ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$PT = PR \quad \dots(4)$
$\Delta QTR$ માં,$PS \parallel TR$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય $(BPT)$ મુજબ:
$\frac{QS}{SR} = \frac{QP}{PT}$
સમીકરણ $(4)$ માંથી $PT = PR$ ની કિંમત ઉપરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{QS}{SR} = \frac{PQ}{PR}$
આમ,સાબિત થાય છે.