आकृति में,$AD$ त्रिभुज $ABC$ की एक माध्यिका है और $AM \perp BC$ है। सिद्ध कीजिए कि $AC^2 + AB^2 = 2AD^2 + \frac{1}{2} BC^2$ है।

(N/A) $\Delta ABM$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AM^2 + MB^2 = AB^2 \quad \dots(1)$
$\Delta AMC$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AM^2 + MC^2 = AC^2 \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2AM^2 + MB^2 + MC^2 = AB^2 + AC^2$
चूंकि $AD$ एक माध्यिका है,इसलिए $BD = DC = \frac{BC}{2}$ है।
हम $MB = BD - DM$ और $MC = DC + DM = BD + DM$ लिख सकते हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$2AM^2 + (BD - DM)^2 + (BD + DM)^2 = AB^2 + AC^2$
$2AM^2 + (BD^2 + DM^2 - 2BD \cdot DM) + (BD^2 + DM^2 + 2BD \cdot DM) = AB^2 + AC^2$
$2AM^2 + 2BD^2 + 2DM^2 = AB^2 + AC^2$
$2(AM^2 + DM^2) + 2BD^2 = AB^2 + AC^2$
$\Delta ADM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AM^2 + DM^2 = AD^2$ है।
अतः,$2AD^2 + 2(\frac{BC}{2})^2 = AB^2 + AC^2$
$2AD^2 + 2(\frac{BC^2}{4}) = AB^2 + AC^2$
$2AD^2 + \frac{BC^2}{2} = AB^2 + AC^2$