આકૃતિમાં,$AB$ અને $CD$ એ વર્તુળની બે જીવાઓ છે જે એકબીજાને બિંદુ $E$ પર છેદે છે. સાબિત કરો કે $\angle AEC = \frac{1}{2}$ (ચાપ $CXA$ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરાયેલો ખૂણો $+$ ચાપ $DYB$ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરાયેલો ખૂણો).

(N/A) આપેલ છે: $AB$ અને $CD$ એ કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળની બે જીવાઓ છે,જે બિંદુ $E$ પર છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle AEC = \frac{1}{2} (\angle AOC + \angle BOD)$.
રચના: $AC, BC, BD$ અને $AD$ ને જોડો.
સાબિતી:
$1$. આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરાયેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ આંતરાયેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
$2$. ચાપ $CXA$ એ કેન્દ્ર પર $\angle AOC$ અને વર્તુળના બાકીના ભાગ પર $\angle ABC$ આંતરે છે. તેથી,$\angle AOC = 2 \angle ABC$ $....(1)$
$3$. તેવી જ રીતે,ચાપ $DYB$ એ કેન્દ્ર પર $\angle BOD$ અને વર્તુળના બાકીના ભાગ પર $\angle BCD$ આંતરે છે. તેથી,$\angle BOD = 2 \angle BCD$ $....(2)$
$4$. $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે: $\angle AOC + \angle BOD = 2(\angle ABC + \angle BCD)$ $....(3)$
$5$. $\Delta CEB$ માં,$\angle AEC$ એ બહિષ્કોણ છે. બહિષ્કોણના ગુણધર્મ મુજબ,ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ તેના બે અંતઃસન્મુખ ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$6$. તેથી,$\angle AEC = \angle ABC + \angle BCD$ $....(4)$
$7$. $(3)$ અને $(4)$ પરથી,આપણને મળે: $\angle AOC + \angle BOD = 2 \angle AEC$.
$8$. આમ,$\angle AEC = \frac{1}{2} (\angle AOC + \angle BOD)$.
આમ,$\angle AEC = \frac{1}{2}$ (ચાપ $CXA$ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરાયેલો ખૂણો $+$ ચાપ $DYB$ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરાયેલો ખૂણો).