$ALGEBRA$ શબ્દના અક્ષરોને કેટલી અલગ અલગ રીતે હરોળમાં ગોઠવી શકાય જો:
$(I)$ બંને $A$ સાથે હોય?
$(II)$ બંને $A$ સાથે ન હોય?

$HOSTEL$ થી $ALLEN$ સુધીના સૌથી ટૂંકા માર્ગોની સંખ્યા (આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ) કેટલી છે?

એક ચોક્કસ કસોટીમાં,${a_i}$ વિદ્યાર્થીઓએ ઓછામાં ઓછા $i$ પ્રશ્નોના ખોટા જવાબ આપ્યા છે,જ્યાં $i = 1, 2, 3, ..., k$. કોઈ પણ વિદ્યાર્થીએ $k$ કરતા વધુ ખોટા જવાબ આપ્યા નથી. આપેલા ખોટા જવાબોની કુલ સંખ્યા કેટલી છે?

$3$ બાળકો $15$ ક્રમિક નંબરવાળી ટિકિટોમાંથી $10$ ટિકિટોને એવી રીતે વહેંચે કે જેથી તેમને $5, 3$ અને $2$ ટિકિટોના ક્રમિક બ્લોક્સ મળે,તો તે કેટલી રીતે શક્ય છે?

જો ${ }^{18} C_{r}={ }^{18} C_{r+2}$ હોય,તો ${ }^{r} C_{5}$ શોધો.

ધારો કે $A_1, A_2, ....., A_{11}$ એક ટીમમાં ખેલાડીઓ છે જેમની ટી-શર્ટ પર $1, 2, ....., 11$ નંબર છે. ટીમે $100$ સોનાના સિક્કા જીત્યા છે. આ સિક્કાઓને ખેલાડીઓ વચ્ચે એવી રીતે વહેંચવાના છે કે દરેક ખેલાડી $A_i$ ને તેના ટી-શર્ટ નંબર કરતા ઓછામાં ઓછા $1$ સિક્કો વધુ મળે. વધુમાં,કેપ્ટન $(A_1)$ અને વાઇસ-કેપ્ટન $(A_2)$ ને તેમના ટી-શર્ટ નંબર કરતા અનુક્રમે ઓછામાં ઓછા $5$ અને $3$ સિક્કા વધુ મળવા જોઈએ. આ સિક્કાઓને કેટલી અલગ અલગ રીતે વહેંચી શકાય?