$8$ पुरुषों और $10$ महिलाओं में से $5$ पुरुषों और $6$ महिलाओं की एक समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?

$AAAABBBC$ के सभी अक्षरों के उन क्रमचयों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनमें सभी $A$ एक $4$ अक्षरों के ब्लॉक में एक साथ आते हैं या सभी $B$ एक $3$ अक्षरों के ब्लॉक में एक साथ आते हैं।

$9$ व्यक्तियों को तीन समान समूहों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या क्या है?

एक परीक्षा हॉल में कुर्सियों की $4$ पंक्तियाँ हैं। प्रत्येक पंक्ति में $8$ कुर्सियाँ एक के पीछे एक हैं। परीक्षा के लिए $2$ कक्षाएं बैठी हैं और प्रत्येक कक्षा में $16$ छात्र हैं। यह वांछित है कि प्रत्येक पंक्ति में सभी छात्र एक ही कक्षा के हों और कोई भी $2$ आसन्न पंक्तियाँ एक ही कक्षा को आवंटित न की जाएं। इन $32$ छात्रों को कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है?

एक छात्रवृत्ति के लिए,$2n+1$ उम्मीदवारों में से अधिकतम $n$ उम्मीदवारों का चयन किया जा सकता है। यदि छात्रवृत्ति के लिए कम से कम एक उम्मीदवार के चयन के विभिन्न तरीकों की संख्या $63$ है,तो छात्रवृत्ति के लिए चुने जा सकने वाले उम्मीदवारों की अधिकतम संख्या क्या है?

एक स्कूल में $36$ शिक्षकों में से,एक प्रधानाचार्य और एक उप-प्रधानाचार्य की नियुक्ति की जानी है। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?