સ્થાનિક વિસ્તારમાં ઉપલબ્ધ $5$ લેટર બોક્સમાં $6$ પત્રો કેટલી રીતે પોસ્ટ કરી શકાય?

$6$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓના જૂથમાંથી,ચાર બાળકોની પસંદગી કરવાની છે. તેઓને કેટલી અલગ અલગ રીતે પસંદ કરી શકાય કે જેથી ઓછામાં ઓછો એક છોકરો હોય?

એક પુરુષ $X$ ને $7$ મિત્રો છે,જેમાંથી $4$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષો છે. તેની પત્ની $Y$ ને પણ $7$ મિત્રો છે,જેમાંથી $3$ સ્ત્રીઓ અને $4$ પુરુષો છે. ધારો કે $X$ અને $Y$ ના કોઈ સામાન્ય મિત્રો નથી. તો $X$ અને $Y$ સાથે મળીને એવી રીતે પાર્ટી આપી શકે કે જેમાં $3$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષોને આમંત્રિત કરવામાં આવે,જેથી $X$ અને $Y$ દરેકના $3$ મિત્રો આ પાર્ટીમાં હોય,તો તે કુલ કેટલી રીતે શક્ય છે?

જો $9$ અભ્યાસક્રમો ઉપલબ્ધ હોય અને દરેક વિદ્યાર્થી માટે $2$ અભ્યાસક્રમો ફરજિયાત હોય,તો એક વિદ્યાર્થી $5$ અભ્યાસક્રમોનો કાર્યક્રમ કેટલી રીતે પસંદ કરી શકે?

એક પરીક્ષામાં,યામિનીએ દરેક વિભાગમાંથી $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે. વિભાગ-$I,$ વિભાગ-$II$ અને વિભાગ-$III$ માં અનુક્રમે $6, 7$ અને $8$ પ્રશ્નો છે. તે કેટલી રીતે પ્રશ્નો પસંદ કરી શકે છે?

$MOTHER$ શબ્દના અક્ષરોની ગોઠવણી કરીને બનતા તમામ શબ્દોને (અર્થપૂર્ણ કે અર્થહીન) શબ્દકોશના ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે,તો $MOTHER$ શબ્દનું સ્થાન કયું હશે?