કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,$C$ આગળ કાટખૂણો છે,$M$ એ કર્ણ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $C$ ને $M$ સાથે જોડીને $D$ સુધી એવી રીતે લંબાવવામાં આવે છે કે જેથી $DM = CM$ થાય. બિંદુ $D$ ને બિંદુ $B$ સાથે જોડવામાં આવે છે (આકૃતિ જુઓ). સાબિત કરો કે:
$(i)$ $\Delta AMC \cong \Delta BMD$
$(ii)$ $\angle DBC$ કાટખૂણો છે.
$(iii)$ $\Delta DBC \cong \Delta ACB$
$(iv)$ $CM = \frac{1}{2} AB$

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$\angle C = 90^\circ$ અને $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે $(AM = BM)$. $CM$ ને $D$ સુધી એવી રીતે લંબાવવામાં આવે છે કે $DM = CM$ થાય.
$(i)$ $\Delta AMC$ અને $\Delta BMD$ માં:
$AM = BM$ (આપેલ છે,$M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$\angle AMC = \angle BMD$ (અભિકોણો)
$CM = DM$ (આપેલ છે)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AMC \cong \Delta BMD$.
$(ii)$ કારણ કે $\Delta AMC \cong \Delta BMD$,તેથી તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન છે $(c.p.c.t.)$.
તેથી,$\angle MAC = \angle MBD$. આ યુગ્મકોણો છે,જે સૂચવે છે કે $AC \parallel DB$.
કારણ કે $AC \parallel DB$ અને $BC$ એ છેદિકા છે,તેથી ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^\circ$ થાય.
$\angle ACB + \angle DBC = 180^\circ$
$90^\circ + \angle DBC = 180^\circ$
$\angle DBC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
$(iii)$ $\Delta DBC$ અને $\Delta ACB$ માં:
$DB = AC$ ($\Delta AMC \cong \Delta BMD$ પરથી $c.p.c.t.$)
$\angle DBC = \angle ACB = 90^\circ$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
$BC = CB$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta DBC \cong \Delta ACB$.
$(iv)$ કારણ કે $\Delta DBC \cong \Delta ACB$,તેથી તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન છે $(c.p.c.t.)$.
તેથી,$DC = AB$.
કારણ કે $DM = CM$,તેથી $CM = \frac{1}{2} DC$.
$DC = AB$ મૂકતા,આપણને $CM = \frac{1}{2} AB$ મળે છે.