व्यंजक 1 + (1 + x) + (1 + x)^2 + dots + (1 + | vedclass

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Question

(A) दिया गया व्यंजक $n+1$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है,जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = (1 + x)$ है।$G.P.$ का योग $S = \frac{a(r

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$^{n + 1}C_{k + 1}$

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(A) दिया गया व्यंजक $n+1$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है,जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = (1 + x)$ है।$G.P.$ का योग $S = \frac{a(r^{n+1} - 1)}{r - 1}$ द्वारा दिया जाता है।मान रखने पर,$E = \frac{1((1 + x)^{n + 1} - 1)}{(1 + x) - 1} = \frac{(1 + x)^{n + 1} - 1}{x}$ प्राप्त होता है।यह $E = x^{-1} \{(1 + x)^{n + 1} - 1\}$ के रूप में सरल होता है।$E$ में $x^k$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हमें $(1 + x)^{n + 1} - 1$ के विस्तार में $x^{k+1}$ का गुणांक ज्ञात करना होगा।द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1 + x)^{n + 1}$ में सामान्य पद $^{n+1}C_r x^r$ है।अतः,$x^{k+1}$ का गुणांक $^{n+1}C_{k+1}$ है।इसलिए,व्यंजक में $x^k$ का गुणांक $^{n+1}C_{k+1}$ है।

व्यंजक $1 + (1 + x) + (1 + x)^2 + \dots + (1 + x)^n$ के विस्तार में $x^k$ $(0 \le k \le n)$ का गुणांक क्या है?

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