आकृति में,आंतरिक (छायांकित) क्षेत्र A त्रिज्य | vedclass

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Question

(B) क्षेत्र $A$ $(0 \le r \le 1)$ में आवेश: $q_A = \int_0^1 (kr) 4\pi r^2 dr = 4\pi k \int_0^1 r^3 dr = 4\pi k [\frac{r^4}{4}]_0^1 = \pi k$.क्षेत्र $B

Vedclass · Accepted Answer

यदि $r_B=\frac{3}{2}$ है,तो $B$ के ठीक बाहर विद्युत विभव $\frac{k}{\epsilon_0}$ है।

Vedclass · Answer

(B) क्षेत्र $A$ $(0 \le r \le 1)$ में आवेश: $q_A = \int_0^1 (kr) 4\pi r^2 dr = 4\pi k \int_0^1 r^3 dr = 4\pi k [\frac{r^4}{4}]_0^1 = \pi k$.क्षेत्र $B$ $(1 \le r \le r_B)$ में आवेश: $q_B = \int_1^{r_B} (\frac{2k}{r}) 4\pi r^2 dr = 8\pi k \int_1^{r_B} r dr = 8\pi k [\frac{r^2}{2}]_1^{r_B} = 4\pi k (r_B^2 - 1)$.कुल आवेश $Q(r_B) = q_A + q_B = \pi k + 4\pi k r_B^2 - 4\pi k = \pi k (4r_B^2 - 3)$.$(A)$ $B$ के बाहर विद्युत क्षेत्र शून्य है यदि $Q(r_B) = 0 \Rightarrow 4r_B^2 - 3 = 0 \Rightarrow r_B = \frac{\sqrt{3}}{2}$. अतः,$(A)$ गलत है।$(B)$ $r = r_B$ पर विद्युत विभव $V = \frac{Q(r_B)}{4\pi \epsilon_0 r_B} = \frac{\pi k (4r_B^2 - 3)}{4\pi \epsilon_0 r_B} = \frac{k (4r_B^2 - 3)}{4 \epsilon_0 r_B}$. यदि $r_B = \frac{3}{2}$ है,तो $V = \frac{k (4(9/4) - 3)}{4 \epsilon_0 (3/2)} = \frac{k (9-3)}{6 \epsilon_0} = \frac{6k}{6 \epsilon_0} = \frac{k}{\epsilon_0}$. अतः,$(B)$ सही है।$(C)$ यदि $r_B = 2$ है,तो $Q = \pi k (4(2^2) - 3) = \pi k (16 - 3) = 13\pi k$. अतः,$(C)$ गलत है।$(D)$ विद्युत क्षेत्र $E = \frac{Q(r_B)}{4\pi \epsilon_0 r_B^2} = \frac{\pi k (4r_B^2 - 3)}{4\pi \epsilon_0 r_B^2} = \frac{k (4r_B^2 - 3)}{4 \epsilon_0 r_B^2}$. यदि $r_B = \frac{5}{2}$ है,तो $E = \frac{k (4(25/4) - 3)}{4 \epsilon_0 (25/4)} = \frac{k (25-3)}{25 \epsilon_0} = \frac{22k}{25 \epsilon_0}$. अतः,$(D)$ गलत है।

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