सामान्य संकेतन में $\Delta \nabla$ का मान किसके बराबर है?

मान लीजिए $f : (0, \pi) \rightarrow \mathbb{R}$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $\lim _{t \rightarrow x} \frac{f(x) \sin t - f(t) \sin x}{t-x} = \sin^2 x$ सभी $x \in (0, \pi)$ के लिए। यदि $f \left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{12}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A) f \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4 \sqrt{2}}$
$(B) f(x) < \frac{x^4}{6} - x^2$ सभी $x \in (0, \pi)$ के लिए
$(C)$ ऐसा $\alpha \in (0, \pi)$ मौजूद है कि $f^{\prime}(\alpha) = 0$
$(D) f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) + f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$

माना $f(x) = (\sin(\tan^{-1} x) + \sin(\cot^{-1} x))^2 - 1$ जहाँ $|x| > 1$ है। यदि $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(f(x)))$ और $y(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ है,तो $y(-\sqrt{3})$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f:R \to R$ एक सतत फलन है जो $f(x) = \frac{1}{e^x + 2e^{-x}}$ द्वारा परिभाषित है।
कथन-$1$: किसी $c \in R$ के लिए $f(c) = \frac{1}{3}$ है।
कथन-$2$: सभी $x \in R$ के लिए $0 < f(x) < \frac{1}{2\sqrt{2}}$ है।

मान लीजिए $f, g: R \rightarrow R$ दो वास्तविक-मान वाले फलन हैं जो $f(x)=\begin{cases} -|x+3| & , x < 0 \\ e^{x} & , x \geq 0 \end{cases}$ और $g(x)=\begin{cases} x^{2}+k_{1} x & , x < 0 \\ 4 x+k_{2} & , x \geq 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित हैं,जहाँ $k_{1}$ और $k_{2}$ वास्तविक स्थिरांक हैं। यदि $(g \circ f)$,$x=0$ पर अवकलनीय है,तो $(g \circ f)(-4)+(g \circ f)(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\int_2^{\sec ^2 x} f(t) d t}{x^2-\frac{\pi^2}{16}}$ का मान ज्ञात कीजिए।