माना f(x) = (sin(tan^{-1} x) + sin(cot^{-1} x | vedclass

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Question

(A) माना $	an^{-1} x = 	heta$ है। तब $\sin(	an^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ और $\sin(\cot^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ होगा।$f(x) = (\fra

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$\frac{5\pi}{6}$

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(A) माना $	an^{-1} x = 	heta$ है। तब $\sin(	an^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ और $\sin(\cot^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ होगा।$f(x) = (\frac{x+1}{\sqrt{1+x^2}})^2 - 1 = \frac{x^2+1+2x}{1+x^2} - 1 = \frac{2x}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।दिया है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(\frac{2x}{1+x^2}))$.$|x| > 1$ के लिए,$\sin^{-1}(\frac{2x}{1+x^2}) = \pi - 2	an^{-1} x$ यदि $x > 1$ और $-\pi - 2	an^{-1} x$ यदि $x अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\pi - 2	an^{-1} x) = -\frac{1}{1+x^2}$ जब $x > 1$ हो।और $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(-\pi - 2	an^{-1} x) = -\frac{1}{1+x^2}$ जब $x समाकलन करने पर,$y = -	an^{-1} x + C_1$ जब $x > 1$ और $y = -	an^{-1} x + C_2$ जब $x दिया है $y(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} \Rightarrow -\frac{\pi}{3} + C_1 = \frac{\pi}{6} \Rightarrow C_1 = \frac{\pi}{2}$।यदि हम मान लें कि $C_2 = C_1 = \frac{\pi}{2}$ है,तो $y(-\sqrt{3}) = -	an^{-1}(-\sqrt{3}) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6}$ होगा।

माना $f(x) = (\sin(\tan^{-1} x) + \sin(\cot^{-1} x))^2 - 1$ जहाँ $|x| > 1$ है। यदि $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(f(x)))$ और $y(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ है,तो $y(-\sqrt{3})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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