माना $f(x) = (\sin(\tan^{-1} x) + \sin(\cot^{-1} x))^2 - 1$ जहाँ $|x| > 1$ है। यदि $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(f(x)))$ और $y(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ है,तो $y(-\sqrt{3})$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = \sqrt{1 - \sqrt{1 - x^2}}$ के लिए

मान लीजिए $f : (0, \pi) \rightarrow \mathbb{R}$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $\lim _{t \rightarrow x} \frac{f(x) \sin t - f(t) \sin x}{t-x} = \sin^2 x$ सभी $x \in (0, \pi)$ के लिए। यदि $f \left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{12}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A) f \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4 \sqrt{2}}$
$(B) f(x) < \frac{x^4}{6} - x^2$ सभी $x \in (0, \pi)$ के लिए
$(C)$ ऐसा $\alpha \in (0, \pi)$ मौजूद है कि $f^{\prime}(\alpha) = 0$
$(D) f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) + f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$

माना $f(x) = \begin{cases} \frac{5 e^{1/x} + 2}{3 - e^{1/x}}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$. तो $x = 0$ पर,$x f(x)$ और $f(x)$ क्रमशः क्या हैं?

$p(0)=0$,सभी $x \neq 0$ के लिए $p(x) > x^2$ और $p^{\prime \prime}(0) = \frac{1}{2}$ को संतुष्ट करने वाले बहुपदों $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ की संख्या क्या है?

निम्नलिखित का मिलान करें:
नीचे,$[x]$ उस सबसे बड़े पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से कम या उसके बराबर है।

$(a)$ $x|x|$	$(i)$ $(-1, 1)$ में सतत है
$(b)$ $\sqrt{|x|}$	$(ii)$ $(-1, 1)$ में अवकलनीय है
$(c)$ $x+[x]$	$(iii)$ $(-1, 1)$ में निरंतर वर्धमान है
$(d)$ $|x-1|+|x+1|$	$(iv)$ $(-1, 1)$ में कम से कम एक बिंदु पर अवकलनीय नहीं है