समान द्रव्यमान घनत्व और L, L/2, L/4, dots लंब | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए कि छड़ों का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda$ है।प्रत्येक छड़ का द्रव्यमान केंद्र उसके मध्य बिंदु पर होता है। $y-$ अक्ष से शुरू होने वाली

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$L/3$

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(B) मान लीजिए कि छड़ों का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda$ है।प्रत्येक छड़ का द्रव्यमान केंद्र उसके मध्य बिंदु पर होता है। $y-$ अक्ष से शुरू होने वाली $l_i$ लंबाई की छड़ के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र का $x-$ निर्देशांक $x_i = l_i / 2$ है।प्रत्येक छड़ का द्रव्यमान $m_i = \lambda l_i$ है।लंबाइयाँ $L, L/2, L/4, \dots$ हैं,इसलिए द्रव्यमान $M_1 = \lambda L, M_2 = \lambda L/2, M_3 = \lambda L/4, \dots$ हैं।द्रव्यमान केंद्रों के $x-$ निर्देशांक $x_1 = L/2, x_2 = L/4, x_3 = L/8, \dots$ हैं।निकाय के द्रव्यमान केंद्र का $x-$ निर्देशांक इस प्रकार दिया गया है:$X_{CM} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i} = \frac{(\lambda L)(L/2) + (\lambda L/2)(L/4) + (\lambda L/4)(L/8) + \dots}{\lambda L + \lambda L/2 + \lambda L/4 + \dots}$$X_{CM} = \frac{\lambda L^2 (1/2 + 1/8 + 1/32 + \dots)}{\lambda L (1 + 1/2 + 1/4 + \dots)}$$X_{CM} = \frac{L}{2} \cdot \frac{(1 + 1/4 + 1/16 + \dots)}{(1 + 1/2 + 1/4 + \dots)}$अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हुए:अंश का योग $= \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = 4/3$.हर का योग $= \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$.$X_{CM} = \frac{L}{2} \cdot \frac{4/3}{2} = \frac{L}{2} \cdot \frac{2}{3} = L/3$.

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