વિધેયનું સંકલન કરો: $\frac{1}{\sqrt{9x^{2}+6x+5}}$

(A) $\int \frac{1}{\sqrt{9x^{2}+6x+5}} dx$ નું સંકલન કરવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની અંદરના દ્વિઘાત પદને પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ:
$9x^{2}+6x+5 = (3x)^{2} + 2(3x)(1) + 1^{2} + 4 = (3x+1)^{2} + 2^{2}$.
હવે,સંકલન $\int \frac{1}{\sqrt{(3x+1)^{2} + 2^{2}}} dx$ બને છે.
ધારો કે $t = 3x+1$,તેથી $dt = 3dx$,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{1}{3} dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{t^{2} + 2^{2}}} dt$.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} dx = \log |x + \sqrt{x^{2}+a^{2}}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{3} \log |t + \sqrt{t^{2} + 2^{2}}| + C$.
$t = 3x+1$ પાછું મૂકતા:
$= \frac{1}{3} \log |(3x+1) + \sqrt{(3x+1)^{2} + 4}| + C$.
$= \frac{1}{3} \log |(3x+1) + \sqrt{9x^{2}+6x+5}| + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.