फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{x+3}{x^{2}-2x-5}$

माना $(x+3) = A \frac{d}{dx}(x^{2}-2x-5) + B$
$(x+3) = A(2x-2) + B$
दोनों पक्षों में $x$ के गुणांकों और अचर पद की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2}$
$-2A + B = 3 \Rightarrow -2(\frac{1}{2}) + B = 3 \Rightarrow -1 + B = 3 \Rightarrow B = 4$
अतः,$(x+3) = \frac{1}{2}(2x-2) + 4$
अब,$\int \frac{x+3}{x^{2}-2x-5} dx = \int \frac{\frac{1}{2}(2x-2)+4}{x^{2}-2x-5} dx$
$= \frac{1}{2} \int \frac{2x-2}{x^{2}-2x-5} dx + 4 \int \frac{1}{x^{2}-2x-5} dx$
माना $I_{1} = \int \frac{2x-2}{x^{2}-2x-5} dx$ और $I_{2} = \int \frac{1}{x^{2}-2x-5} dx$
$I_{1}$ के लिए,$x^{2}-2x-5 = t$ लेने पर,$(2x-2)dx = dt$. अतः,$I_{1} = \int \frac{dt}{t} = \log |x^{2}-2x-5|$.
$I_{2}$ के लिए,$x^{2}-2x-5 = (x-1)^{2} - 6 = (x-1)^{2} - (\sqrt{6})^{2}$.
सूत्र $\int \frac{1}{x^{2}-a^{2}} dx = \frac{1}{2a} \log |\frac{x-a}{x+a}|$ का उपयोग करने पर,$I_{2} = \frac{1}{2\sqrt{6}} \log |\frac{x-1-\sqrt{6}}{x-1+\sqrt{6}}|$.
$I_{1}$ और $I_{2}$ के मान रखने पर,समाकलन $\frac{1}{2} \log |x^{2}-2x-5| + \frac{4}{2\sqrt{6}} \log |\frac{x-1-\sqrt{6}}{x-1+\sqrt{6}}| + C$
$= \frac{1}{2} \log |x^{2}-2x-5| + \frac{2}{\sqrt{6}} \log |\frac{x-1-\sqrt{6}}{x-1+\sqrt{6}}| + C$.