परिमेय फलन $\frac{1}{e^x - 1}$ का समाकलन कीजिए। (संकेत: $e^x = t$ रखिए)

माना $e^x = t$. तब $e^x dx = dt$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{dt}{t}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{1}{e^x - 1} dx = \int \frac{1}{t - 1} \cdot \frac{dt}{t} = \int \frac{1}{t(t - 1)} dt$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{t(t - 1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t - 1}$.
$1 = A(t - 1) + Bt$.
$t = 0$ रखने पर,$A = -1$ प्राप्त होता है।
$t = 1$ रखने पर,$B = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\int \frac{1}{t(t - 1)} dt = \int \left( \frac{-1}{t} + \frac{1}{t - 1} \right) dt$.
$= -\log|t| + \log|t - 1| + C = \log\left| \frac{t - 1}{t} \right| + C$.
$t = e^x$ वापस रखने पर:
$= \log\left| \frac{e^x - 1}{e^x} \right| + C$.