$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^3 - 3$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ધારો કે $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$,$(x \ge 1)$ નો ઉકેલ છે. તો $y(e)$ ની કિંમત શોધો: $[y(1) = 0]$

નીચેના વિધાનોનું અવલોકન કરો:
$I$. જો $dy+2xy dx=2e^{-x^2} dx$ હોય,તો $ye^{x^2}=2x+c$
$II$. જો $ye^{x^2}-2x=c$ હોય,તો $dx=\frac{dy}{2e^{-x^2}-2xy}$
નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 2x + x^2 \cot x$ $(x \neq 0)$ નો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો,જ્યાં $x = \frac{\pi}{2}$ હોય ત્યારે $y = 0$ છે.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = y \tan x - y^2 \sec x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ધારો કે $\alpha$ એક શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે. ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(0)=2$ અને $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=1$. જો તમામ $x \in R$ માટે $f^{\prime}(x)=\alpha f(x)+3$ હોય,તો $f(-\log _e 2)$ ની કિંમત . . . . . . . . . થાય.