વિકલ સમીકરણ $\cos x \frac{dy}{dx} + y \sin x = 1$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y - x + xy \cot x = 0$ $(x \neq 0)$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2})dy+(y-\tan^{-1}x)dx=0$ નો ઉકેલ વક્ર છે, જ્યાં $y(0)=1$ છે. તો $y(1)$ નું મૂલ્ય શોધો:

ધારો કે $y=f(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+\frac{xy}{x^2-1}=\frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}}$ નું ઉકેલ છે,જ્યાં $-1 < x < 1$ અને $f(0)=0$ છે. જો $6 \int_{-1/2}^{1/2} f(x) dx = 2\pi - \alpha$ હોય,તો $\alpha^2$ ની કિંમત . . . . . . છે.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sec x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+2y \sec^2 x = 2 \sec^2 x + 3 \tan x \cdot \sec^2 x$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0)=\frac{5}{4}$ છે. તો $12\left(y\left(\frac{\pi}{4}\right)-e^{-2}\right)$ ની કિંમત . . . . . . છે.