मान लीजिए f एक अवकलनीय फलन है जो सभी x, y in | vedclass

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Question

(D) दिया गया फलन समीकरण: $f(x + 2y) = 2yf(x) + xf(y) - 3xy + 1$. $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर,$f(0) = 0 + 0 - 0 + 1$,अतः $f(0) = 1$. $f'(x)$ ज्ञात करने

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$3$

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(D) दिया गया फलन समीकरण: $f(x + 2y) = 2yf(x) + xf(y) - 3xy + 1$. $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर,$f(0) = 0 + 0 - 0 + 1$,अतः $f(0) = 1$. $f'(x)$ ज्ञात करने के लिए,दिए गए समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर ($y$ को अचर मानकर): $f'(x + 2y) = 2yf'(x) + f(y) - 3y$. इस अवकलित समीकरण में $x = 0$ रखने पर: $f'(2y) = 2yf'(0) + f(y) - 3y$. चूंकि $f'(0) = 1$,इसलिए $f'(2y) = 2y(1) + f(y) - 3y = f(y) - y$. अब,मूल समीकरण का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर ($x$ को अचर मानकर): $2f'(x + 2y) = 2f(x) + xf'(y) - 3x$. $y = 0$ रखने पर: $2f'(x) = 2f(x) + xf'(0) - 3x$. चूंकि $f'(0) = 1$,इसलिए $2f'(x) = 2f(x) + x - 3x$,जो सरल होकर $2f'(x) = 2f(x) - 2x$ या $f'(x) - f(x) = -x$ बनता है। यह एक रैखिक अवकल समीकरण है। समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है। समीकरण को $e^{-x}$ से गुणा करने पर: $e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = -x e^{-x}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $f(x) e^{-x} = x e^{-x} + e^{-x} + C$. $f(x) = x + 1 + Ce^x$. $f(0) = 1$ का उपयोग करने पर: $1 = 0 + 1 + C(1) \Rightarrow C = 0$. अतः,$f(x) = x + 1$. इसलिए,$f(2) = 2 + 1 = 3$.

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