मान लीजिए $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है ताकि $A^2 - 5A + 7I = 0$ हो।
कथन-$I$: ${A^{-1}} = \frac{1}{7}(5I - A)$.
कथन-$II$: बहुपद $A^3 - 2A^2 - 3A + I$ को $5(A - 4I)$ में घटाया जा सकता है।

यदि $S = \{x \in [0, 2\pi] : \begin{vmatrix} 0 & \cos x & -\sin x \\ \sin x & 0 & \cos x \\ \cos x & \sin x & 0 \end{vmatrix} = 0\}$ है,तो $\sum_{x \in S} \tan \left( \frac{\pi}{3} + x \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\left|\begin{array}{ccc}-1 & 7 & 0 \\ 2 & 1 & -3 \\ 3 & 4 & 1\end{array}\right|=A$ है, तो $\left|\begin{array}{ccc}13 & -11 & 5 \\ -7 & -1 & 25 \\ -21 & -3 & -15\end{array}\right|$ का मान क्या है?

निम्नलिखित रैखिक समीकरणों पर विचार करें:
$ax+by+cz=0$,$bx+cy+az=0$,$cx+ay+bz=0$
स्तंभ $I$ में दी गई शर्तों/व्यंजकों को स्तंभ $II$ में दिए गए कथनों के साथ सुमेलित करें:

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ $a+b+c \neq 0$ और $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$	$(p)$ समीकरण केवल एक बिंदु पर मिलने वाले समतलों को दर्शाते हैं।
$(B)$ $a+b+c=0$ और $a^2+b^2+c^2 \neq ab+bc+ca$	$(q)$ समीकरण रेखा $x=y=z$ को दर्शाते हैं।
$(C)$ $a+b+c \neq 0$ और $a^2+b^2+c^2 \neq ab+bc+ca$	$(r)$ समीकरण समान समतलों को दर्शाते हैं।
$(D)$ $a+b+c=0$ और $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$	$(s)$ समीकरण संपूर्ण त्रिविमीय आकाश को दर्शाते हैं।

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} a & 1 \\ b & -1 \end{bmatrix}$ और $(A + B)^2 = A^2 + B^2$ है,तो $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a, b$ और $c$ तीन वास्तविक संख्याएँ हैं जो $\begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 9 & 7 \\ 8 & 2 & 7 \\ 7 & 3 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ $(E)$ को संतुष्ट करती हैं।
$1.$ यदि बिंदु $P(a, b, c)$, $(E)$ के संदर्भ में, समतल $2x+y+z=1$ पर स्थित है, तो $7a+b+c$ का मान क्या है?
$(A) 0$ $(B) 12$ $(C) 7$ $(D) 6$
$2.$ मान लीजिए $\omega$, $x^3-1=0$ का एक हल है जहाँ $\operatorname{Im}(\omega)>0$ है। यदि $a=2$ है और $b$ तथा $c$, $(E)$ को संतुष्ट करते हैं, तो $\frac{3}{\omega^a}+\frac{1}{\omega^b}+\frac{3}{\omega^c}$ का मान क्या है?
$(A) -2$ $(B) 2$ $(C) 3$ $(D) -3$
$3.$ मान लीजिए $b=6$ है, और $a$ तथा $c$, $(E)$ को संतुष्ट करते हैं। यदि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूल हैं, तो $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right)^n$ का मान क्या है?
$(A) 6$ $(B) 7$ $(C) \frac{6}{7}$ $(D) \infty$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।