मान लीजिए f(x) = x cos^{-1}(-sin |x|),x in le | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = x \cos^{-1}(-\sin |x|)$। चूंकि $\cos^{-1}(-u) = \pi - \cos^{-1}(u)$,इसलिए $f(x) = x(\pi - \cos^{-1}(\sin |x|))$।$\cos^{-1}(\si

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$f^{\prime}$,$\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ में ह्रासमान है और $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में वर्धमान है

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = x \cos^{-1}(-\sin |x|)$। चूंकि $\cos^{-1}(-u) = \pi - \cos^{-1}(u)$,इसलिए $f(x) = x(\pi - \cos^{-1}(\sin |x|))$।$\cos^{-1}(\sin |x|) = \cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - |x|)) = \frac{\pi}{2} - |x|$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $|x| \in [0, \frac{\pi}{2}]$,हमें प्राप्त होता है:$f(x) = x(\pi - (\frac{\pi}{2} - |x|)) = x(\frac{\pi}{2} + |x|)$।$x \geq 0$ के लिए,$f(x) = x(\frac{\pi}{2} + x) = \frac{\pi}{2}x + x^2$। अतः $f^{\prime}(x) = \frac{\pi}{2} + 2x$।$x $x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने पर: $LHD = \lim_{x 	o 0^-} (\frac{\pi}{2} - 2x) = \frac{\pi}{2}$ और $RHD = \lim_{x 	o 0^+} (\frac{\pi}{2} + 2x) = \frac{\pi}{2}$। चूंकि $LHD = RHD$,इसलिए $f$,$x=0$ पर अवकलनीय है और $f^{\prime}(0) = \frac{\pi}{2}$।अब,$x \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$ के लिए,$f^{\prime\prime}(x) = -2 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,$f^{\prime\prime}(x) = 2 > 0$,इसलिए $f^{\prime}$ वर्धमान है।अतः,विकल्प $A$ सही है।

List $I$	List $II$
$A. 3x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 6x + 1$	$(I)$ $x = 4$ पर न्यूनतम मान रखता है
$B. x + \frac{1}{x}, \forall x < 0$	$(II)$ $x = -1$ पर अधिकतम मान रखता है
$C. x^4(7 - x)^3$	$(III)$ $x = 4$ पर अधिकतम मान रखता है
$D. x^4 + (8 - x)^4$	$(IV)$ $[2, \infty)$ में ह्रासमान है
	$(V)$ $[2, \infty)$ में वर्धमान है

मान लीजिए $f(x) = x \cos^{-1}(-\sin |x|)$,$x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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