मान लीजिए कि $^*$ पर $N$ में एक द्विआधारी संक्रिया $a \, ^* \, b = a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.}$ द्वारा दी गई है। क्या $^*$ क्रमविनिमेय है?

मान लीजिए कि $^*$ $N$ पर एक द्वि-आधारी संक्रिया है जो $a \,^*\, b = a \text{ और } b \text{ का म.स.प.}$ द्वारा परिभाषित है। क्या $^*$ क्रमविनिमेय है? क्या $^*$ साहचर्य है? क्या $N$ पर इस द्वि-आधारी संक्रिया के लिए कोई तत्समक अवयव मौजूद है?

सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय $N$ पर,निम्नलिखित में से कौन सी संक्रिया $*$ एक द्वि-आधारी संक्रिया (binary operation) है?

धनात्मक परिमेय संख्याओं के समुच्चय पर,एक द्विआधारी संक्रिया $*$ को $a * b = \frac{2ab}{5}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। यदि $2 * x = 3^{-1}$ है,तो $x = $

दर्शाइए कि ऊपर दी गई संक्रियाओं में से किसी का भी तत्समक (identity) अवयव नहीं है।

द्वि-संक्रियाओं $^*: R \times R \rightarrow R$ और $o: R \times R \rightarrow R$ पर विचार करें,जो $a \,^*\, b = |a-b|$ और $a \,o\, b = a$,$\forall \, a, b \in R$ के रूप में परिभाषित हैं। सिद्ध कीजिए कि $^*$ क्रमविनिमेय है लेकिन साहचर्य नहीं है,और $o$ साहचर्य है लेकिन क्रमविनिमेय नहीं है। इसके अतिरिक्त,सिद्ध कीजिए कि $\forall \, a, b, c \in R, a \,^*\, (b \,o\, c) = (a \,^*\, b) \,o\, (a \,^*\, c)$। [यदि ऐसा है,तो हम कहते हैं कि संक्रिया $^*$ संक्रिया $o$ पर वितरित होती है]। क्या $o$,$^*$ पर वितरित होता है? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।