मान लीजिए u = frac{2z + i}{z - ki}, जहाँ z = | vedclass

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Question

(C) दिया है $u = \frac{2z + i}{z - ki} = \frac{2(x + iy) + i}{(x + iy) - ki} = \frac{2x + i(2y + 1)}{x + i(y - k)}$.अंश और हर को संयुग्मी $x - i(y - k

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$2$

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(C) दिया है $u = \frac{2z + i}{z - ki} = \frac{2(x + iy) + i}{(x + iy) - ki} = \frac{2x + i(2y + 1)}{x + i(y - k)}$.अंश और हर को संयुग्मी $x - i(y - k)$ से गुणा करने पर:$u = \frac{2x^2 + (2y + 1)(y - k) + i[x(2y + 1) - 2x(y - k)]}{x^2 + (y - k)^2}$.$\operatorname{Re}(u) + \operatorname{Im}(u) = 1$ दिया गया है, अतः:$2x^2 + (2y + 1)(y - k) + x(2y + 1) - 2x(y - k) = x^2 + (y - k)^2$.$y$-अक्ष पर प्रतिच्छेदन के लिए $x = 0$ रखने पर:$(2y + 1)(y - k) = (y - k)^2$.$(y - k)[(2y + 1) - (y - k)] = 0 \Rightarrow (y - k)(y + k + 1) = 0$.इससे $y_1 = k$ और $y_2 = -k - 1$ प्राप्त होता है।दूरी $PQ = |y_1 - y_2| = |k - (-k - 1)| = |2k + 1| = 5$.चूंकि $k > 0$, इसलिए $2k + 1 = 5$ $\Rightarrow 2k = 4$ $\Rightarrow k = 2$.

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