मान लीजिए y = y(x) अवकल समीकरण cos x frac{dy} | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos x \frac{dy}{dx} + 2y \sin x = \sin 2x$ है। $\cos x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + 2y 	an x =

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$\sqrt{2} - 2$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos x \frac{dy}{dx} + 2y \sin x = \sin 2x$ है। $\cos x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + 2y 	an x = 2 \sin x$। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2 	an x$ और $Q = 2 \sin x$ है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) = $e^{\int P dx} = e^{\int 2 	an x dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = \sec^2 x$ है। सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है। $y \sec^2 x = \int 2 \sin x \cdot \sec^2 x dx + C$। $y \sec^2 x = 2 \int 	an x \sec x dx + C$। $y \sec^2 x = 2 \sec x + C$। दिया गया है कि $y(\frac{\pi}{3}) = 0$,इसलिए $x = \frac{\pi}{3}$ और $y = 0$ रखने पर: $0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = 2 \sec(\frac{\pi}{3}) + C$। $0 = 2(2) + C \implies C = -4$। अतः,हल $y \sec^2 x = 2 \sec x - 4$ है। $x = \frac{\pi}{4}$ के लिए,$y \sec^2(\frac{\pi}{4}) = 2 \sec(\frac{\pi}{4}) - 4$। $y(2) = 2(\sqrt{2}) - 4$। $2y = 2\sqrt{2} - 4$। $y = \sqrt{2} - 2$।

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