एक अवकलनीय फलन f: mathbb{R} rightarrow mathbb | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - 3y = \alpha$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int -3 dx} = e^{-3x}$ है।दोनों पक्षों क

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$61$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - 3y = \alpha$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int -3 dx} = e^{-3x}$ है।दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}(y e^{-3x}) = \alpha e^{-3x}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y e^{-3x} = \int \alpha e^{-3x} dx = \frac{\alpha e^{-3x}}{-3} + C$ प्राप्त होता है।अतः,$y = -\frac{\alpha}{3} + C e^{3x}$ है।दिया गया है कि $\lim_{x ightarrow -\infty} f(x) = 7$,जैसे ही $x ightarrow -\infty$,$e^{3x} ightarrow 0$ होता है। इसलिए,$7 = -\frac{\alpha}{3}$,जिसका अर्थ है $\alpha = -21$ है।$\alpha = -21$ को समीकरण में रखने पर,$y = 7 + C e^{3x}$ प्राप्त होता है।$f(0) = 1$ का उपयोग करने पर,$1 = 7 + C$,इसलिए $C = -6$ है।अतः,$f(x) = 7 - 6 e^{3x}$ है।अब,$f(-\log_e 3) = 7 - 6 e^{3(-\log_e 3)} = 7 - 6 e^{\log_e(3^{-3})} = 7 - 6(3^{-3}) = 7 - 6(\frac{1}{27}) = 7 - \frac{6}{27} = 7 - \frac{2}{9} = \frac{63-2}{9} = \frac{61}{9}$ है।इसलिए,$9 f(-\log_e 3) = 9 	imes \frac{61}{9} = 61$।

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