વિકલનીય વિધેય $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ માટે,ધારો કે $f^{\prime}(x)=3 f(x)+\alpha$,જ્યાં $\alpha \in \mathbb{R}, f(0)=1$ અને $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=7$. તો $9 f\left(-\log _{e} 3\right)$ ની કિંમત ............ થાય.

ધારો કે $y=y(x)$ એ અંતરાલ $(0, \infty)$ માં એક વિકલનીય વિધેય છે, જેથી $y(1)=2$ અને દરેક $x>0$ માટે $\lim_{t \rightarrow x} \left( \frac{t^{2}y(x)-x^{2}y(t)}{x-t} \right) = 3$ થાય છે. તો $2y(2)$ ની કિંમત શોધો.

જો $y=y(x)$ એ સમીકરણ $e^{\sin y} \cos y \frac{dy}{dx} + e^{\sin y} \cos x = \cos x$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $y(0)=0$,તો $1 + y\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} y\left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y=f(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+\frac{xy}{x^2-1}=\frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}}$ નું ઉકેલ છે,જ્યાં $-1 < x < 1$ અને $f(0)=0$ છે. જો $6 \int_{-1/2}^{1/2} f(x) dx = 2\pi - \alpha$ હોય,તો $\alpha^2$ ની કિંમત . . . . . . છે.

$e^{y-x} \frac{dy}{dx} = \frac{y(\sin x + \cos x)}{1 + y \log y}$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $\sin x$ એ સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (integrating factor) હોય,તો $P$ શું થાય?