बिंदु (0, pi) से गुजरने वाले और अवकल समीकरण y | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y dx = (x + y^3 \cos y) dy$ है। $y dy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} + y^2 \cos y$ प्राप्त होता है। पदों

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$x = y^2 \sin y + 2y \cos^2 \frac{y}{2}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y dx = (x + y^3 \cos y) dy$ है। $y dy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} + y^2 \cos y$ प्राप्त होता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y} x = y^2 \cos y$ प्राप्त होता है। यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = y^2 \cos y$ है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$ है। हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है। $x \cdot \frac{1}{y} = \int (y^2 \cos y) \cdot \frac{1}{y} dy + C$. $\frac{x}{y} = \int y \cos y dy + C$. खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int y \cos y dy = y \sin y - \int \sin y dy = y \sin y + \cos y$. अतः,$\frac{x}{y} = y \sin y + \cos y + C$. $x = y^2 \sin y + y \cos y + Cy$. वक्र $(0, \pi)$ से गुजरता है,इसलिए $0 = \pi^2 \sin \pi + \pi \cos \pi + C\pi$. $0 = 0 - \pi + C\pi \implies C\pi = \pi \implies C = 1$. इस प्रकार,$x = y^2 \sin y + y \cos y + y = y^2 \sin y + y(1 + \cos y) = y^2 \sin y + y(2 \cos^2 \frac{y}{2})$. अतः,$x = y^2 \sin y + 2y \cos^2 \frac{y}{2}$.

बिंदु $(0, \pi)$ से गुजरने वाले और अवकल समीकरण $y dx = (x + y^3 \cos y) dy$ को संतुष्ट करने वाले वक्र का समीकरण है

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