frac{d y}{d x}+frac{1}{x}=frac{e^y}{x^2} का ह | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}$ है।दोनों पक्षों को $e^y$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $e^{-y} \frac{

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$2 x=\left(1+C x^2\right) e^y$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}$ है।दोनों पक्षों को $e^y$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $e^{-y} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} e^{-y} = \frac{1}{x^2} \quad \dots (i)$.माना $e^{-y} = v$ है। तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$-e^{-y} \frac{d y}{d x} = \frac{d v}{d x}$,या $e^{-y} \frac{d y}{d x} = -\frac{d v}{d x}$ प्राप्त होता है।इस मान को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$-\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = \frac{1}{x^2}$,जिसे सरल करने पर $\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{d v}{d x} + P(x) v = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{x}$ और $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) d x} = e^{\int -\frac{1}{x} d x} = e^{-\log x} = e^{\log(x^{-1})} = \frac{1}{x}$ है।हल $v \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) d x + C$ द्वारा दिया जाता है।$v \cdot \frac{1}{x} = \int \left(-\frac{1}{x^2}\right) \cdot \frac{1}{x} d x + C$.$\frac{v}{x} = -\int x^{-3} d x + C = -\left(\frac{x^{-2}}{-2}\right) + C = \frac{1}{2 x^2} + C$.$2x^2$ से गुणा करने पर,$2 x v = 1 + 2 C x^2$ प्राप्त होता है। माना $2C = C'$,तो $2 x v = 1 + C' x^2$ होगा।$v = e^{-y}$ रखने पर,$2 x e^{-y} = 1 + C' x^2$ प्राप्त होता है।$e^y$ से गुणा करने पर,$2 x = (1 + C' x^2) e^y$ प्राप्त होता है।

$\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}$ का हल ज्ञात कीजिए।

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