अवकल समीकरण (y^2+x+1) dy = (y+1) dx का व्यापक | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(y^2+x+1) dy = (y+1) dx$। $x$ में रैखिक अवकल समीकरण बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{y^2+x+1}

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$\frac{x+2}{y+1}+\log (y+1)^2=y+c$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(y^2+x+1) dy = (y+1) dx$। $x$ में रैखिक अवकल समीकरण बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{y^2+x+1}{y+1} = \frac{y^2+1}{y+1} + \frac{x}{y+1}$। $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y+1} x = \frac{y^2+1}{y+1}$। यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y+1}$ और $Q(y) = \frac{y^2+1}{y+1}$ है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{-\int \frac{1}{y+1} dy} = e^{-\log(y+1)} = \frac{1}{y+1}$। हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + c$ है। $x \cdot \frac{1}{y+1} = \int \frac{y^2+1}{(y+1)^2} dy + c$। $y^2+1 = (y+1)^2 - 2(y+1) + 2$ का उपयोग करने पर: $\frac{x}{y+1} = \int \left( 1 - \frac{2}{y+1} + \frac{2}{(y+1)^2} \right) dy + c$। $\frac{x}{y+1} = y - 2 \log |y+1| - \frac{2}{y+1} + c$। पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{x+2}{y+1} + 2 \log |y+1| = y + c$,अर्थात $\frac{x+2}{y+1} + \log (y+1)^2 = y + c$।

अवकल समीकरण $(y^2+x+1) dy = (y+1) dx$ का व्यापक हल है

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