यदि y = y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + (tan | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 	an x$ और $Q(x) = \sin x$ है।सबसे पहले,हम समाक

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$\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right) \log_{e} 2$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 	an x$ और $Q(x) = \sin x$ है।सबसे पहले,हम समाकलन गुणक ($I$.$F$.) ज्ञात करते हैं:$I.F. = e^{\int 	an x dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$.व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।$y \sec x = \int \sin x \cdot \sec x dx + C$$y \sec x = \int 	an x dx + C$$y \sec x = \ln|\sec x| + C$.चूंकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:$0 \cdot \sec(0) = \ln|\sec(0)| + C$$0 = \ln(1) + C \Rightarrow C = 0$.अतः,विशिष्ट हल $y \sec x = \ln|\sec x|$ है,जिसे $y = \cos x \ln|\sec x|$ के रूप में लिखा जा सकता है।$y\left(\frac{\pi}{4}ight)$ का मान ज्ञात करने के लिए:$y\left(\frac{\pi}{4}ight) = \cos\left(\frac{\pi}{4}ight) \ln\left|\sec\left(\frac{\pi}{4}ight)ight|$$y\left(\frac{\pi}{4}ight) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln(\sqrt{2})$$y\left(\frac{\pi}{4}ight) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln(2^{1/2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \ln(2) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \log_{e} 2$.

यदि $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + (\tan x)y = \sin x, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3},$ का हल है,जहाँ $y(0) = 0$ है,तो $y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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