अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + (sec x operatornam | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है, जहाँ $P(x) = \sec x \operatorname{cosec} x = \frac{1}{\cos x \sin x} = \frac{\s

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$2y 	an x = \sin^2 x + c$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है, जहाँ $P(x) = \sec x \operatorname{cosec} x = \frac{1}{\cos x \sin x} = \frac{\sec^2 x}{	an x}$ और $Q(x) = \cos^2 x$ है। सबसे पहले, हम समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करते हैं: $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\sec^2 x}{	an x} dx} = e^{\ln|	an x|} = 	an x$. व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + c$ द्वारा दिया जाता है। $y 	an x = \int \cos^2 x \cdot 	an x dx + c$. $y 	an x = \int \cos^2 x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} dx + c = \int \sin x \cos x dx + c$. $y 	an x = \frac{\sin^2 x}{2} + c$. अतः, $2y 	an x = \sin^2 x + c$.

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + (\sec x \operatorname{cosec} x) y = \cos^2 x$ का व्यापक हल है

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मान लीजिए कि $f:[1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ एक अवकलनीय फलन है। यदि सभी $x \ge 1$ के लिए $6 \int_{1}^{x} f(t) dt = 3xf(x) + x^{3} - 4$ है, तो $f(2) - f(3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy(x^2 \sin y^2 + 1)}$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

यदि $0 < x < \frac{\pi}{2}$ के लिए $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6x$ और $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ है,तो $y(\frac{\pi}{6})$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित अवकल समीकरण का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,दिया गया है कि $y=1$ जब $x=0$: $(1+x^2) \frac{dy}{dx} = e^{\tan^{-1} x} - y$.

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