अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{1}{xy(x^2 sin | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy(x^2 \sin y^2 + 1)}$.इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = xy(x^2 \sin y^2 + 1) = x^3 y \

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$e^{y^2} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{\cos y^2}{2} + \frac{\sin y^2}{2} \right) = C$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy(x^2 \sin y^2 + 1)}$.इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = xy(x^2 \sin y^2 + 1) = x^3 y \sin y^2 + xy$.$x^3$ से भाग देने पर: $x^{-3} \frac{dx}{dy} - yx^{-1} = y \sin y^2$.माना $u = x^{-2}$,तब $\frac{du}{dy} = -2x^{-3} \frac{dx}{dy}$,इसलिए $x^{-3} \frac{dx}{dy} = -\frac{1}{2} \frac{du}{dy}$.समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{1}{2} \frac{du}{dy} - yu = y \sin y^2 \Rightarrow \frac{du}{dy} + 2yu = -2y \sin y^2$.यह $u$ में एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $IF = e^{\int 2y dy} = e^{y^2}$ है।हल $u e^{y^2} = \int (-2y \sin y^2) e^{y^2} dy$ है।माना $t = y^2$,तब $dt = 2y dy$. समाकलन $\int -\sin t e^t dt$ हो जाता है।खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int e^t \sin t dt = \frac{e^t}{2} (\sin t - \cos t)$.अतः,$u e^{y^2} = -\frac{e^{y^2}}{2} (\sin y^2 - \cos y^2) + C$.$u = x^{-2}$ रखने पर: $\frac{e^{y^2}}{x^2} = \frac{e^{y^2}}{2} (\cos y^2 - \sin y^2) + C$.पुनर्व्यवस्थित करने पर: $e^{y^2} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{\cos y^2}{2} + \frac{\sin y^2}{2} \right) = C$.

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy(x^2 \sin y^2 + 1)}$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

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अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} - y = x^3, (x > 0)$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

निम्नलिखित में से कौन सा एक रैखिक अवकल समीकरण (linear differential equation) है?

मान लीजिए $f$ एक अवकलनीय फलन है जहाँ $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ है। यदि $y^{\prime}+y f^{\prime}(x)-f(x) f^{\prime}(x)=0$ और $\lim _{x \rightarrow \infty} y(x)=0$ है, तो:

यदि $y=f(x)$ अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y$, $x > 0$, $y(2) = 4$ का हल है, तो $f(4) = $ ?

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