यदि y=f(x) अवकल समीकरण x frac{dy}{dx} = x^2 + | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y$ $x$ से भाग देने पर $(x > 0)$: $\frac{dy}{dx} - \frac{3}{x}y = x$ यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(

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$48$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y$ $x$ से भाग देने पर $(x > 0)$: $\frac{dy}{dx} - \frac{3}{x}y = x$ यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = -\frac{3}{x}$ और $Q(x) = x$ है। समाकलन गुणक $(IF)$: $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{3}{x} dx} = e^{-3 \ln x} = e^{\ln x^{-3}} = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$। व्यापक हल: $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ $y \cdot \frac{1}{x^3} = \int x \cdot \frac{1}{x^3} dx + C$ $\frac{y}{x^3} = \int x^{-2} dx + C = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$ $y(2) = 4$ दिया गया है, इसलिए $x = 2$ और $y = 4$ रखने पर: $\frac{4}{2^3} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow \frac{4}{8} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow C = 1$। अतः, विशिष्ट हल है: $\frac{y}{x^3} = -\frac{1}{x} + 1 \Rightarrow y = x^3 - x^2$। $f(4)$ ज्ञात करने के लिए, $x = 4$ रखने पर: $f(4) = 4^3 - 4^2 = 64 - 16 = 48$।

यदि $y=f(x)$ अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y$, $x > 0$, $y(2) = 4$ का हल है, तो $f(4) = $ ?

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