25 frac{d^{2} y}{d x^{2}}-10 frac{d y}{d x}+y | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $25 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-10 \frac{d y}{d x}+y=0$ है।सहायक समीकरण $25 m^{2}-10 m+1=0$ है।इसे $(5 m-1)^{2}=0$ के रूप में लिख

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$y=(1+x) e^{x / 5}$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $25 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-10 \frac{d y}{d x}+y=0$ है।सहायक समीकरण $25 m^{2}-10 m+1=0$ है।इसे $(5 m-1)^{2}=0$ के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे $m=\frac{1}{5}, \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।चूंकि मूल वास्तविक और समान हैं, इसलिए सामान्य हल $y=(c_{1}+c_{2} x) e^{x / 5} \quad \dots(i)$ होगा।$y(0)=1$ दिया गया है, इसलिए $(i)$ में $x=0$ रखने पर $1=(c_{1}+0) e^{0} \Rightarrow c_{1}=1$ प्राप्त होता है।$y(1)=2 e^{1 / 5}$ दिया गया है, इसलिए $(i)$ में $x=1$ और $c_{1}=1$ रखने पर $2 e^{1 / 5}=(1+c_{2}) e^{1 / 5}$ प्राप्त होता है।$e^{1 / 5}$ से विभाजित करने पर, $2=1+c_{2} \Rightarrow c_{2}=1$ प्राप्त होता है।अब $c_{1}=1$ और $c_{2}=1$ को $(i)$ में रखने पर, विशिष्ट हल $y=(1+x) e^{x / 5}$ प्राप्त होता है।

$25 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-10 \frac{d y}{d x}+y=0$, $y(0)=1, y(1)=2 e^{1 / 5}$ का हल है

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