फलन y=f(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx}+frac{xy}{ | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{x}{x^2-1}$ और $Q(x) = \frac{x^4+2x}{\sqrt

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$\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{x}{x^2-1}$ और $Q(x) = \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int \frac{x}{x^2-1} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln|x^2-1|} = e^{\frac{1}{2} \ln(1-x^2)} = \sqrt{1-x^2}$ है।व्यापक हल $y \cdot \sqrt{1-x^2} = \int \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2} dx + c = \int (x^4+2x) dx + c = \frac{x^5}{5} + x^2 + c$ है।चूँकि $f(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0 \cdot 1 = 0 + 0 + c$,जिससे $c=0$ प्राप्त होता है।अतः,$f(x) = \frac{x^5/5 + x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ है।हमें $I = \int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} f(x) dx$ का मान ज्ञात करना है। चूँकि $f(x) = \frac{x^5/5}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ है,पहला पद एक विषम फलन है,इसलिए सममित अंतराल पर इसका समाकलन $0$ होगा।अतः,$I = 2 \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$ है।माना $x = \sin 	heta$,तब $dx = \cos 	heta d	heta$ है। जब $x=0, 	heta=0$; जब $x=\frac{\sqrt{3}}{2}, 	heta=\frac{\pi}{3}$ है।$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^2 	heta}{\cos 	heta} \cos 	heta d	heta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 	heta d	heta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos 2	heta) d	heta$ है।$I = [	heta - \frac{1}{2} \sin 2	heta]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$ है।

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माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\sec x \frac{dy}{dx} - 2y = 2 + 3 \sin x$ का हल है, जहाँ $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ और $y(0) = -\frac{7}{4}$ है। तो $y(\frac{\pi}{6})$ का मान ज्ञात कीजिए:

अवकल समीकरण $(x + 2y^3) \frac{dy}{dx} - y = 0$ का हल है

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