यदि y=sin x+A cos x, frac{dy}{dx}+f(x)y=sec x | vedclass

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Question

(A) दिया गया व्यापक हल: $y = \sin x + A \cos x$  $(i)$ $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \cos x - A \sin x$  (ii) $(i)$ से, $A \cos x = y

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$\sec x$

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(A) दिया गया व्यापक हल: $y = \sin x + A \cos x$  $(i)$ $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \cos x - A \sin x$  (ii) $(i)$ से, $A \cos x = y - \sin x$, अतः $A = \frac{y - \sin x}{\cos x}$. $A$ का मान (ii) में रखने पर: $\frac{dy}{dx} = \cos x - (\frac{y - \sin x}{\cos x}) \sin x$ $\frac{dy}{dx} = \cos x - y 	an x + \sin x 	an x$ $\frac{dy}{dx} + y 	an x = \cos x + \sin x 	an x = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos x} = \frac{1}{\cos x} = \sec x$ इसे मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + f(x)y = Q(x)$ से तुलना करने पर, हमें $f(x) = 	an x$ प्राप्त होता है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int f(x) dx} = e^{\int 	an x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$ है।

यदि $y=\sin x+A \cos x$, $\frac{dy}{dx}+f(x)y=\sec x$ का व्यापक हल है, तो अवकल समीकरण का समाकलन गुणक (Integrating Factor) क्या है?

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मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $x(x^2 + e^x) dy + (e^x(x-2)y - x^3) dx = 0, x > 0$ का हल वक्र है,जो बिंदु $(1, 0)$ से होकर गुजरता है। तो $y(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

अवकल समीकरण $(\tan ^{-1} y - x) dy = (1 + y^2) dx$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

अवकल समीकरण $x \cdot \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ का समाकलन गुणक $(x \neq 0)$ ज्ञात कीजिए।

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ का हल है जो $y(1) = 1$ को संतुष्ट करता है,तो $y\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $(x+1) \frac{dy}{dx} - xy = 1$,जो $y(0) = 1$ को संतुष्ट करता है,का हल है

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