यदि y=y(x) अवकल समीकरण x frac{dy}{dx} + 2y = | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ है।$x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2}{x}\right)y = x$ प्राप्त होता है।यह $\

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$\frac{49}{16}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ है।$x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2}{x}\right)y = x$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2}{x}$ और $Q = x$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2$ है।व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx + C = \int x^3 dx + C = \frac{x^4}{4} + C$.चूँकि $y(1) = 1$ दिया गया है,$x = 1$ और $y = 1$ रखने पर: $1(1)^2 = \frac{1^4}{4} + C \implies 1 = \frac{1}{4} + C \implies C = \frac{3}{4}$.अतः,विशिष्ट हल $y x^2 = \frac{x^4}{4} + \frac{3}{4}$ या $y = \frac{x^2}{4} + \frac{3}{4x^2}$ है।अब,$y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{(\frac{1}{2})^2}{4} + \frac{3}{4(\frac{1}{2})^2} = \frac{1/4}{4} + \frac{3}{4(1/4)} = \frac{1}{16} + 3 = \frac{1 + 48}{16} = \frac{49}{16}$.

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ का हल है जो $y(1) = 1$ को संतुष्ट करता है,तो $y\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $x(1 - x^2)dy + (2x^2y - y - ax^3)dx = 0$ का समाकलन गुणक (integrating factor) $e^{\int Pdx}$ है,तो $P$ का मान ज्ञात कीजिए।

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