अवकल समीकरण (1-x^2) frac{dy}{dx} + xy = kx के | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1-x^2) \frac{dy}{dx} + xy = kx$ है। दोनों पक्षों को $(1-x^2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \fr

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$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1-x^2) \frac{dy}{dx} + xy = kx$ है। दोनों पक्षों को $(1-x^2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{1-x^2} y = \frac{kx}{1-x^2}$. यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{x}{1-x^2}$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ द्वारा दिया जाता है। $IF = e^{\int \frac{x}{1-x^2} dx}$. मान लीजिए $u = 1-x^2$,तो $du = -2x dx$,इसलिए $x dx = -\frac{1}{2} du$। $IF = e^{-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du} = e^{-\frac{1}{2} \ln|u|} = e^{\ln|u|^{-1/2}} = |u|^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$। अतः,सही विकल्प $A$ है।

अवकल समीकरण $(1-x^2) \frac{dy}{dx} + xy = kx$ के लिए $(-1 < x < 1)$ समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

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