यदि y(t),(1 + t)frac{dy}{dt} - ty = 1 और y(0) | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + t)\frac{dy}{dt} - ty = 1$ है। $(1 + t)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dt} - \frac{t}{1 + t}y = \frac{1}{1 + t}$ प्राप्

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$-\frac{1}{2}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + t)\frac{dy}{dt} - ty = 1$ है। $(1 + t)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dt} - \frac{t}{1 + t}y = \frac{1}{1 + t}$ प्राप्त होता है। यह $\frac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(t) = -\frac{t}{1 + t}$ और $Q(t) = \frac{1}{1 + t}$ है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(t) dt} = e^{\int -\frac{t}{1 + t} dt} = e^{\int (-1 + \frac{1}{1 + t}) dt} = e^{-t + \ln(1 + t)} = (1 + t)e^{-t}$ है। व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(t) \cdot (I.F.) dt + C$ है। $y(1 + t)e^{-t} = \int \frac{1}{1 + t} \cdot (1 + t)e^{-t} dt + C = \int e^{-t} dt + C = -e^{-t} + C$. चूंकि $y(0) = -1$ दिया गया है,$t = 0$ रखने पर: $-1(1 + 0)e^{0} = -e^{0} + C \Rightarrow -1 = -1 + C \Rightarrow C = 0$. अतः,$y(1 + t)e^{-t} = -e^{-t}$,जिसे सरल करने पर $y = -\frac{1}{1 + t}$ प्राप्त होता है। $t = 1$ के लिए,$y(1) = -\frac{1}{1 + 1} = -\frac{1}{2}$.

यदि $y(t)$,$(1 + t)\frac{dy}{dt} - ty = 1$ और $y(0) = -1$ का एक हल है,तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $\alpha x = \exp(x^\beta y^\gamma)$ अवकल समीकरण $2x^2 y \frac{dy}{dx} - (1 - xy^2) = 0$ का हल है,जहाँ $x > 0$ और $y(2) = \sqrt{\log_e 2}$ है। तो $\alpha + \beta - \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए:

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} - y = x^2$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \sec x(\sec x + \tan x)$ का हल है

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