मान लीजिए कि y=y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx}+ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + (2 \sec^2 x)y = 2 \sec^2 x + 3 	an x \sec^2 x$ है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल

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$21$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + (2 \sec^2 x)y = 2 \sec^2 x + 3 	an x \sec^2 x$ है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 2 \sec^2 x$ और $Q(x) = 2 \sec^2 x + 3 	an x \sec^2 x$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int 2 \sec^2 x dx} = e^{2 	an x}$ है।हल $y \cdot e^{2 	an x} = \int (2 \sec^2 x + 3 	an x \sec^2 x) e^{2 	an x} dx$ है।मान लीजिए $u = 	an x$,तो $du = \sec^2 x dx$। समाकलन $\int (2 + 3u) e^{2u} du$ हो जाता है।खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int (2 + 3u) e^{2u} du = (2 + 3u) \frac{e^{2u}}{2} - \int 3 \frac{e^{2u}}{2} du = (1 + \frac{3}{2}u) e^{2u} - \frac{3}{4} e^{2u} + C = (\frac{3}{2}u + \frac{1}{4}) e^{2u} + C$ है।अतः,$y \cdot e^{2 	an x} = (\frac{3}{2} 	an x + \frac{1}{4}) e^{2 	an x} + C$ है।$e^{2 	an x}$ से भाग देने पर,$y = \frac{3}{2} 	an x + \frac{1}{4} + C e^{-2 	an x}$ प्राप्त होता है।चूँकि $y(0) = \frac{5}{4}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{5}{4} = 0 + \frac{1}{4} + C \implies C = 1$ है।इस प्रकार,$y(x) = \frac{3}{2} 	an x + \frac{1}{4} + e^{-2 	an x}$ है।$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$y(\frac{\pi}{4}) = \frac{3}{2}(1) + \frac{1}{4} + e^{-2} = \frac{7}{4} + e^{-2}$ है।इसलिए,$12(y(\frac{\pi}{4}) - e^{-2}) = 12(\frac{7}{4}) = 21$ है।

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