समीकरण x^2 y - x^3 frac{dy}{dx} = y^4 cos x,ज | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$. दोनों पक्षों को $x^3 y^4$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{x^2 y^3} - \frac{1}{y^4} \

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$x^3 = 3 y^3 \sin x$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$. दोनों पक्षों को $x^3 y^4$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{x^2 y^3} - \frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{x^3}$. माना $v = y^{-3}$,तब $\frac{dv}{dx} = -3 y^{-4} \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $-\frac{1}{3} \frac{dv}{dx} = y^{-4} \frac{dy}{dx}$. इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} + \frac{3}{x} v = \frac{3 \cos x}{x^3}$. समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int \frac{3}{x} dx} = x^3$. हल: $v \cdot x^3 = \int x^3 \cdot \frac{3 \cos x}{x^3} dx = 3 \sin x + C$. अतः,$x^3 y^{-3} = 3 \sin x + C$.

समीकरण $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$,जहाँ $y(0) = 1$ है,का हल ज्ञात कीजिए।

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यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \tan x = x \sec x$,$0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}$,$y(0)=1$ का हल वक्र है,तो $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x(1-x^{2}) \frac{dy}{dx}+(3x^{2}y-y-4x^{3})=0, x>1$ का हल है,जहाँ $y(2)=-2$ है। तो $y(3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y - x + xy \cot x = 0$ $(x \neq 0)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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