यदि y = f(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = (tan | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \sec^2 x = 	an x \sec^2 x$ है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \s

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$e - 2$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \sec^2 x = 	an x \sec^2 x$ है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \sec^2 x$ और $Q = 	an x \sec^2 x$ है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int \sec^2 x dx} = e^{	an x}$ है। हल $y \cdot e^{	an x} = \int (	an x \sec^2 x) e^{	an x} dx + C$ है। माना $t = 	an x$,तो $dt = \sec^2 x dx$। समाकलन $\int t e^t dt = t e^t - e^t + C$ हो जाता है। अतः,$y e^{	an x} = e^{	an x} (	an x - 1) + C$। चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $0 = e^0 (0 - 1) + C$,जिसका अर्थ है $C = 1$। इस प्रकार,$y = 	an x - 1 + e^{-	an x}$। $x = -\frac{\pi}{4}$ के लिए,$	an x = -1$। $y\left( -\frac{\pi}{4} ight) = -1 - 1 + e^{-(-1)} = e - 2$।

यदि $y = f(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (\tan x - y) \sec^2 x$,$x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ का हल है,और $y(0) = 0$ है,तो $y\left( -\frac{\pi}{4} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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