वक्रों के एक परिवार का अवकल समीकरण x y frac{d | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x y \frac{d y}{d x}=2 y^2-x^2$ है। $x$ से भाग देने पर: $y \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^2}{x} - x$ प्राप्त होता है। पुनर्व्यव

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$y^2=x^2+c x^4$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x y \frac{d y}{d x}=2 y^2-x^2$ है। $x$ से भाग देने पर: $y \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^2}{x} - x$ प्राप्त होता है। पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y \frac{d y}{d x} - \frac{2 y^2}{x} = -x$ $\ldots$ $(i)$। माना $v = y^2$ है। तब $\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d y}{d x}$, जिसका अर्थ है $y \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \frac{d v}{d x}$। $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = -x$। $2$ से गुणा करने पर: $\frac{d v}{d x} - \frac{4 v}{x} = -2 x$। यह $\frac{d v}{d x} + P(x) v = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = -\frac{4}{x}$ और $Q(x) = -2 x$ है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) d x} = e^{\int -\frac{4}{x} d x} = e^{-4 \ln |x|} = x^{-4}$ है। हल $v \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF d x + c$ है। $v \cdot x^{-4} = \int (-2 x) \cdot x^{-4} d x + c = \int -2 x^{-3} d x + c$। $\frac{v}{x^4} = -2 \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right) + c = \frac{1}{x^2} + c$। $v = x^2 + c x^4$। चूंकि $v = y^2$ है, इसलिए वक्रों का परिवार $y^2 = x^2 + c x^4$ है।

वक्रों के एक परिवार का अवकल समीकरण $x y \frac{d y}{d x}=2 y^2-x^2$ है। तो, वक्रों का परिवार है

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