मान लीजिए f एक अवकलनीय फलन है जहाँ lim_{x rig | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = f^{\prime}(x)$ और $Q(x) = f(x)f^{\prime}(x)$ ह

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$y + 1 = e^{-f(x)} + f(x)$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = f^{\prime}(x)$ और $Q(x) = f(x)f^{\prime}(x)$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int f^{\prime}(x) dx} = e^{f(x)}$ है।व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ द्वारा दिया जाता है।$y \cdot e^{f(x)} = \int f(x) f^{\prime}(x) e^{f(x)} dx + C$.मान लीजिए $u = f(x)$, तो $du = f^{\prime}(x) dx$। समाकलन $\int u e^u du = u e^u - e^u$ हो जाता है।अतः, $y \cdot e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x) - 1) + C$.दिया गया है कि $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0$ और $\lim_{x \rightarrow \infty} y(x) = 0$, इन मानों को समीकरण में रखने पर:$0 \cdot e^0 = e^0(0 - 1) + C \Rightarrow 0 = -1 + C \Rightarrow C = 1$.$C = 1$ को समीकरण में रखने पर:$y \cdot e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x) - 1) + 1$.$e^{f(x)}$ से विभाजित करने पर:$y = f(x) - 1 + e^{-f(x)}$.पुनर्व्यवस्थित करने पर $y + 1 = e^{-f(x)} + f(x)$ प्राप्त होता है।

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