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Question

(C) दिया गया समीकरण: $3 \int_1^x f(t) dt = x f(x) - \frac{x^3}{3}$.$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:$3 f(x) = f(x) + x f'(x) - x^2$.पदों क

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$\frac{4e^2}{3}$

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(C) दिया गया समीकरण: $3 \int_1^x f(t) dt = x f(x) - \frac{x^3}{3}$.$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:$3 f(x) = f(x) + x f'(x) - x^2$.पदों को व्यवस्थित करने पर:$2 f(x) = x f'(x) - x^2 \implies x f'(x) - 2 f(x) = x^2$.$x$ से भाग देने पर $(x \geq 1)$:$f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = x$.यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = x$.समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.हल $f(x) \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ द्वारा दिया जाता है:$f(x) \cdot \frac{1}{x^2} = \int x \cdot \frac{1}{x^2} dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln x + C$.अतः,$f(x) = x^2 \ln x + C x^2$.शर्त $f(1) = \frac{1}{3}$ का उपयोग करने पर:$f(1) = 1^2 \ln(1) + C(1)^2 = \frac{1}{3} \implies 0 + C = \frac{1}{3} \implies C = \frac{1}{3}$.इस प्रकार,$f(x) = x^2 \ln x + \frac{x^2}{3}$.$f(e)$ की गणना करने पर:$f(e) = e^2 \ln(e) + \frac{e^2}{3} = e^2(1) + \frac{e^2}{3} = \frac{3e^2 + e^2}{3} = \frac{4e^2}{3}$.

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