ધારો કે f: [1, infty) rightarrow R એક વિકલનીય | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ સમીકરણ: $3 \int_1^x f(t) dt = x f(x) - \frac{x^3}{3}$.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:$3 f(x) = f(x) + x f'(x) - x^2$.પદોને ગોઠવતા:$2

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{4e^2}{3}$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ સમીકરણ: $3 \int_1^x f(t) dt = x f(x) - \frac{x^3}{3}$.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:$3 f(x) = f(x) + x f'(x) - x^2$.પદોને ગોઠવતા:$2 f(x) = x f'(x) - x^2 \implies x f'(x) - 2 f(x) = x^2$.$x$ વડે ભાગતા $(x \geq 1)$:$f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = x$.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{2}{x}$ અને $Q(x) = x$.સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.ઉકેલ $f(x) \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ દ્વારા મળે છે:$f(x) \cdot \frac{1}{x^2} = \int x \cdot \frac{1}{x^2} dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln x + C$.તેથી,$f(x) = x^2 \ln x + C x^2$.શરત $f(1) = \frac{1}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા:$f(1) = 1^2 \ln(1) + C(1)^2 = \frac{1}{3} \implies 0 + C = \frac{1}{3} \implies C = \frac{1}{3}$.આમ,$f(x) = x^2 \ln x + \frac{x^2}{3}$.$f(e)$ ની ગણતરી કરતા:$f(e) = e^2 \ln(e) + \frac{e^2}{3} = e^2(1) + \frac{e^2}{3} = \frac{3e^2 + e^2}{3} = \frac{4e^2}{3}$.

ધારો કે $f: [1, \infty) \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(1) = \frac{1}{3}$ અને $3 \int_1^x f(t) dt = x f(x) - \frac{x^3}{3}$,$x \in [1, \infty)$ માટે. તો $f(e)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(y^{2}+2x) \frac{dy}{dx}=y$ નો ઉકેલ $x=1, y=1$ નું સમાધાન કરે છે. તો ઉકેલ શું છે?

એક વિધેય $y = f(x)$ એ $(x + 1)f'(x) - 2(x^2 + x)f(x) = \frac{e^{x^2}}{(x + 1)}$ નું સમાધાન કરે છે. જો $f(0) = 5$ હોય,તો $f(x)$ શું છે?

$\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $f: [1, \infty) \to \mathbb{R}$ એ એક વિકલનીય વિધેય છે જે $f(x) = \int_1^x f(t) \, dt + (1 - x)(\log_e x - 1) + e$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો $f(f(1))$ નું મૂલ્ય શોધો:

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module