अवकल समीकरण x^2 frac{dy}{dx} cos frac{1}{x} - | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 \frac{dy}{dx} \cos \frac{1}{x} - y \sin \frac{1}{x} = -1$। $x^2 \cos \frac{1}{x}$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} - y \f

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$y = \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 \frac{dy}{dx} \cos \frac{1}{x} - y \sin \frac{1}{x} = -1$। $x^2 \cos \frac{1}{x}$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} - y \frac{	an(1/x)}{x^2} = -\frac{\sec(1/x)}{x^2}$। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{	an(1/x)}{x^2}$ और $Q = -\frac{\sec(1/x)}{x^2}$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int -\frac{	an(1/x)}{x^2} dx}$ है। माना $u = \frac{1}{x}$,तो $du = -\frac{1}{x^2} dx$। $IF = e^{\int 	an u du} = e^{\ln |\sec u|} = \sec(\frac{1}{x})$। हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + c$ है। $y \sec(\frac{1}{x}) = \int -\frac{\sec(1/x)}{x^2} \cdot \sec(\frac{1}{x}) dx = -\int \sec^2(\frac{1}{x}) \cdot \frac{1}{x^2} dx$। $u = \frac{1}{x}$ रखने पर,$du = -\frac{1}{x^2} dx$। $y \sec(\frac{1}{x}) = \int \sec^2 u du = 	an u + c = 	an(\frac{1}{x}) + c$। जब $x ightarrow \infty$,तब $\frac{1}{x} ightarrow 0$। दिया गया है कि $y ightarrow -1$,इसलिए: $-1 \cdot \sec(0) = 	an(0) + c \Rightarrow -1 = 0 + c \Rightarrow c = -1$। अतः,$y \sec(\frac{1}{x}) = 	an(\frac{1}{x}) - 1$। $y = \frac{	an(1/x) - 1}{\sec(1/x)} = \sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x})$।

अवकल समीकरण $x^2 \frac{dy}{dx} \cos \frac{1}{x} - y \sin \frac{1}{x} = -1$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $x \rightarrow \infty$ होने पर $y \rightarrow -1$ है।

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